目录

概述

为方便讨论，令 ${\log }_{10}f(t)=t_{ex1}$$\log_{10} f(t)=t_{ex1}$, ${\log }_{10}({\log }_{10}f(t))=t_{ex2}$$\log_{10}(\log_{10} f(t))=t_{ex2}$.

游戏中的“转生”的原文是 Prestige, 旧版翻译为“归一”，“超越”的原文是 Supremacy, 旧版翻译为“升华“。

警告：本文存在大量剧透内容！

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许可证声明

本攻略采用知识共享署名 - 非商业性使用 - 相同方式共享 4.0 国际许可协议进行许可。

星星

可以通过点击公式、获得成就、挂机和玩小游戏的方法获得星星，游戏中所有资源的获得数量都是基于时刻（tick）计算，大部分情况下，每个时刻为 0.1 秒，部分理论除外。在每一个时刻，都会有一定概率获得星星，其公式为 $0.04\mathrm{\%}\times \sqrt{dt}$$0.04\% \times \sqrt{dt}$. 点击公式获得星星的概率始终为 $0.04\mathrm{\%}$$0.04\%$. 离线（游戏不运行）时所有资源的获得数量和在线时相同，最多可获得 7 天的离线进度。

星星可用于购买变量、自动购买器、各个变量的永久升级和小游戏，需要注意的是，用于购买星加成（包括变量、自动购买器、各个变量的永久升级）的星星，购买后可以卖掉加成以返还购买时花费的全部星星。用于购买小游戏的星星，购买完成后不能返还！

前期攻略和获得星星的方法

首先不断点击公式获得星星，手动购买各种升级推进进度（你可以使用自动点击器或者是物 理 方 法），然后购买 一键购买（Buy All）” 按钮，这样子似乎方便很多了，然后再购买 “数字推盘（15-Puzzle）” 和 “环面游戏（Torus Puzzle）” 获得一些星星。小游戏的攻略详见 “相关链接” ，前期不建议购买 “箭头谜题（Arrow Puzzle）”，难度较高且收益不大。后续优先入手 “变量自动购买器” 和 “升级自动购买器” ，这里大概能解锁转生了。加速按钮可以在获得和加速按钮有关的隐藏成就后卖掉。

此时在 $db=b$$db=b$ 时手动进行转生，获得星星后如果无法购买自动转生，优先购买变量，然后是最高级别变量的额外等级。当你可以购买自动转生时，卖掉所有的变量和永久升级，购买自动转生，并输入如下的一 转 公 式：

timer(d(ln(db/b+1)/pt) < 0) > 3 * tr && db > b

公式的含义在后续的章节中提到。随后的优先级为：变量、变量等级、自动操作速度×2、加速按钮、自动超越。当自动操作速度和变量等级同等价位时（例如一个要 1220, 一个要 1225），优先购买变量。变量等级先买最高等级的变量，等解锁所有变量后可使用星星计算器（https://gsui5051.github.io/StarOptimizer/index2.html）计算各个变量等级的购买数量。本人不建议牺牲自动操作速度来购买高等级变量，这反而会使游戏进度变慢。

自动超越可以在买不起第三个 $\psi$$\psi$ 升级（$4e51<\psi <1e110$$4e51<\psi<1e110$）时卖掉，那可是 10 万星星啊！不过当你能买得起自动超越的时候，你估计已经有 18~20 个学生了，快要（或者已经）解锁第一个理论了。自动超越公式及其含义在后续的章节中提到。

至于箭头谜题，这个小游戏是最难的一个，建议直接看游戏官方 wiki 的攻略：https://exponential-idle.fandom.com/wiki/Minigames 如果你真的要使用这个攻略来解决箭头谜题的话，点 我放弃！ （I Give Up!）按钮旁边的小齿轮，将显示模式改成数字。

小游戏的星星奖励

基础奖励的星星数量如下：

获得奖励的星星数量为基础奖励的星星数量乘以游戏加成倍数后向下取整，游戏加成倍数的公式为 $\max (1,0.02\times d{t}^{0.5})$$\mathrm{max}(1, 0.02\times dt^{0.5})$. 其中 $max(a,b)$$\max(a,b)$ 为 $a$$a$ 和 $b$$b$ 中较大的数值。值得注意的是，按住加速按钮后，$dt$$dt$ 的数值会增加。

转生（Prestige）

转生后获得 $db$$db$ 的公式如下：

当 $db>>b$$db>>b$ 时，转生后有

此时 $b\propto t_{ex1}$$b\propto t_{ex1}$.

转生后获得 $d\mu$$d\mu$ 的公式如下：

当 $d\mu >>\mu$$d\mu>>\mu$ 时，在游戏过程中可视作 $\mu =t_{ex1}$$\mu=t_{ex1}$.

需要注意的是，计算转生后获得的 $db$$db$ 和 $d\mu$$d\mu$ 时，使用的是当前累计的 $f(t)$$f(t)$ （Cumulative $f(t)$$f(t)$）

超越（Supremacy）

超越获得 $d\psi$$d\psi$ 的公式如下：

当 $d\psi >>\psi >>1$$d\psi>>\psi>>1$ 时，超越后有

此时 $\log \psi \propto t_{ex2}$$\log\psi\propto t_{ex2}$. 首次购买第三个 $\psi$$\psi$ 升级需要 $1.00e110\psi$$1.00e110\psi$, 对应的是 $t_{ex2}\approx 9160.302$$t_{ex2}\approx9160.302$

各个 $\psi$$\psi$ 升级各次购买所需要的 $\psi$$\psi$ 和 $f(t)$$f(t)$​​ 以及对应的学生数量详见附录二。

毕业（Graduation）

当首次达成 $f(t)\ge ee2000$$f(t)\geq ee2000$ 时，可进行第一次毕业，随后获得 5 个学生，毕业后获得 $\sigma$$\sigma$ 或学生的公式如下：

其中 ${\sigma }_t$$\sigma_t$ 为获得学生的总数；$\mathrm{floor}(x)$$\mathrm{floor}(x)$ 为向下取整函数，函数值为不大于 $x$$x$ 的最大整数；$max(x(t))$$\max(x(t))$ 为 $x(t)$$x(t)$ 的最大值。

需要注意的事，当首次达成 $f(t)\ge ee2000$$f(t)\geq ee2000$ 之后，继续挂机 $f(t)$$f(t)$ 也不会继续增长，需要进行一次毕业才能继续游戏。

加速器（Accelerator）

加速器倍率的公式如下：

其中 $B$$B$ 为加速倍率， $t$$t$ 为按住加速按钮的时间，单位为秒。加速器的效果是使 $dt$$dt$ 获得等于加速倍率的加成。

首次毕业到理论的攻略

$f(t)$$f(t)$: 2k → 3.6k/3.8k/4k → 4.6k → 5k （最后一步至少需要好几天的时间，当然也可以选择在 4.8k 的时候毕业一次，多毕业一次要花的时间可能会多亿点）

学生：5σ → 13/14/15σ → 18σ → 理论 1

别忘了使用星星分配计算器和学生分配计算器！可以在“相关链接”中找到计算器的链接。

解锁理论后，可在附录三中查找 ${\tau }_i$$\tau_i$ 需要达到的值。

各理论的攻略（主要是里程碑升级的顺序）详见附录一。

不考虑广告奖励，从 1 到 ee5000 （开始到解锁第一个理论）最快需要 2 周，从 ee5000 到 ee20000 （从解锁第一个理论到完成理论 9 ）最快需要一个月。

即使加上广告奖励，从ee20000 到 ee50000 （买完所有的 $\psi$$\psi$​​​​​​ 升级，${\sigma }_t+d\sigma =245$$\sigma_t+d\sigma=245$​, $\tau \sim e4560$$\tau\sim e4560$​, $d\psi \approx 5.74e601$$d\psi\approx 5.74e601$​​​​​）至少需要 2 个月。游戏的软上限为 ee50000. 直到 2021 年 9 月 18 日 18 点 52 分为止，ee50000 的速通记录是 70 天 0:52:58, 这个记录当然是靠大量的广告奖励才能达成的。

理论5：逻辑斯谛函数（Logistic Function）

理论5的公式如下：

各参数的取值范围如下：

式 (8) 的解是$\rho =q_1^n{q}_2\int q(t)dt$$\rho=q^n_1q_2\int q(t)dt$，关键是求出微分方程 (9) 的解

理论 5 叫逻辑斯谛函数，微分方程的解必然与逻辑斯谛函数有关，可求出微分方程(9)的解如下：

其中

逻辑斯谛函数是存在硬上限的，上限为$L$$L$. $K$$K$表示函数增速，$A$$A$决定了函数的初始值。

从方程的解可以看出，$c_1$$c_1$ 只提高函数的增速；$c_2$$c_2$ 提高函数上限的同时，还降低了函数的增速；$c_3$$c_3$ 同时提高了函数的上限和增速。

当 $q<<c_2{c}_3^m$$q<<c_2c^m_3$ 时，此时 $\dot{q}\propto q$$\dot q\propto q$, $q$$q$ 和 $\rho$$\rho$ 都是指数增长，当 $t$$t$ 很大时，$q$$q$ 近似于常数，$\rho$$\rho$ 为线性增长，然而购买升级的价格并不是线性增长的。需要在适当的时机重置此理论（也就是进行出版），获得倍数加成，以进一步提高增长速度。常用的重置时机是：${\tau }_5<1e25$$\tau_5<1e25$ 前为 3 倍，后期为 6~10 倍。

模拟地址：https://www.desmos.com/calculator/qfrw3rq7g5

参考资料：https://sites.math.northwestern.edu/~mlerma/courses/math214-2-03f/notes/c2-logist.pdf

理论9：审敛法（Convergence Test）

证明理论 9 中的每一个引理时，需要看好公式，否则会出现 $\rho$$\rho$​ 的增率 $\dot{\rho }$$\dot \rho$​ 为负值的情况。当然，你也可以不看这一部分内容，自己摸索。

每一个引理都有进度回滚的功能，如果你翻车了，可以点击一个形状类似 ↖️ 的按钮，将引理中除公式以外的所有数值重置为初始值，以回滚引理的进度。

如果使用最好的策略，且活跃地游玩该理论，完成这个理论需要 5~6 小时。

如何卖掉引理中的升级？

有时候，可以通过卖掉引理中的升级，重新分配引理中各个升级的数量，使 $\dot{\rho }$$\dot \rho$ 尽可能的大，从而加快 $\rho$$\rho$ 的增速。引理中每一个升级的左边都有一个带方框的减号，点击这个减号可以卖掉一定数量的对应升级。卖掉升级后，购买升级消耗的 $\rho$$\rho$ 全部返还。图表下部，靠近 $AeB\rho$$AeB\rho$ 的位置有当前引理相关变量（如 $q$$q$, $\dot{\rho }$$\dot\rho$ ）的值的显示，如果你想要使 $\dot{\rho }$$\dot \rho$ 尽可能的大，那么这部分显示数据具有很大的参考价值。

引理1：$b>0$$b>0$

引理 1 的公式如下：

易得 $q=t\ge 0$$q=t\geq0$, 此时只需令 $\dot{\rho }>0$$\dot \rho>0$, 则

又由于 $sinq+1/2\in [-1/2,3/2]$$sin\ q+1/2 \in [-1/2,3/2]$, 若式 (14) 恒成立，则下式恒成立

式 (15) 可改写成 $2c_3-c_2>0$$2c_3-c_2>0$. 游戏中 $c_3=2^{n_3}-1$$c_3=2^{n_3}-1$, $c_2=2^{n_2}$$c_2=2^{n_2}$, 其中 $n_2$$n_2$ 和 $n_3$$n_3$ 分别对应该引理 $c_2$$c_2$ 和 $c_3$$c_3$ 升级购买的个数。此时下式恒成立：

式 (16) 左边除以 2 后，令 $n_3=n_2+k$$n_3=n_2+k$, 同时 $n_2=n\ge 0$$n_2=n\geq0$, 可定义如下函数：

当 $n=k=0$$n=k=0$ 时，$f(0,0)=-2$$f(0,0)=-2$. 因此，这个引理需要尽可能快的购买 $c_2$$c_2$ 和 $c_3$$c_3$ 升级升级中的任意一个，至于是哪一个呢？从函数 (17) 可得，$f(0,1)=0,f(1,-1)=-1,f(1,0)=0,f(0,2)=2.5,f(2,-2)=-2$$f(0,1)=0, f(1,-1)=-1, f(1,0)=0, f(0,2)=2.5,f(2,-2)=-2$, 所以，刚进入引理 1 时，购买 2 个 $c_3$$c_3$ 升级。

当 $n=0$$n=0$ 时，若 $f(n,k)$$f(n,k)$ 恒大于零，则 $2^k-1>0$$2^k-1>0$, 此时 $k>1$$k>1$. 也就是说，如果你不买 $c_2$$c_2$ 升级， $c_3$$c_3$ 升级要尽可能地多，也就是说，可以把所有的 $c_2$$c_2$ 升级卖掉，换成 $c_3$$c_3$ 升级。

如果 $c_2$$c_2$ 和 $c_3$$c_3$ 升级都买了呢？当 $k\ge 0$$k\geq0$ 且 $n>0$$n>0$ 即 $c_3$$c_3$ 升级的数量比 $c_2$$c_2$ 升级的数量多时，$f(n,k)$$f(n,k)$ 恒大于零，当 $k<0$$k<0$ 且 $n>0$$n>0$ 也就是说 $c_2$$c_2$ 升级比 $c_3$$c_3$ 升级的数量多，此时进行定性分析：式 (16) 中，令 $2^{n_3+1}$$2^{n_3+1}$ 为定值，当 $n_2$$n_2$ 足够大时，不等式左边小于或等于0，不等式不成立。

综上所述，引理 1 的最优策略是：尽可能多地购买 $c_3$$c_3$ 升级，适当调节 $c_1$$c_1$ 升级的数量，条件允许的话可以将所有的 $c_1$$c_1$ 升级卖掉，购买尽可能多的 $c_3$$c_3$ 升级。手动购买的优先级如下：前期为 $c_3$$c_3$ 升级 - $c_1$$c_1$ 升级 - $c_2$$c_2$ 升级，后期为 $c_3$$c_3$ 升级 - $c_2$$c_2$ 升级 - $c_1$$c_1$ 升级

引理2：$dt>0$$dt>0$

引理 2 的公式如下：

其中 $n$$n$ 为购买升级的总次数。$c_1$$c_1$ 和 $c_3$$c_3$ 随购买次数近似线性增长，$c_2=2^{n_2},c_4=2^{n_4},$$c_2=2^{n_2}, c_4=2^{n_4},$ 其中 $n_2$$n_2$ 和 $n_4$$n_4$ 为购买 $c_2$$c_2$ 升级和 $c_4$$c_4$ 升级的个数。又因为 $q=t\ge 0,$$q=t\geq0,$ 分母的值随时间单调递增，$\dot{\rho }$$\dot \rho$ 因此单调递减。因此，引理 2 的最优策略是：保证 $c_2$$c_2$ 和 $c_4$$c_4$ 的值尽可能大的同时，又要保证 $n$$n$ 尽可能小。此时需要通过买卖升级的方法，调整升级的数量和各个系数的值，使 $\dot{\rho }$$\dot \rho$ 尽可能大。实测表明，在购买升级个数相同的情况下，$c_3>c_1$$c_3>c_1$. 因此，这个引理到后期的只需要保证所有的 $\rho$$\rho$ 都分配到 $c_3$$c_3$ 升级和 $c_4$$c_4$ 升级上。

引理3：$x>0$$x>0$

引理 3 的公式如下：

看起来引理 3 只需要无脑买买买，但是，需要保证 $c_1$$c_1$ 为偶数，否则 $c_2$$c_2$ 对 $\dot{\rho }$$\dot\rho$ 的增益变为减益，降低 $\rho$$\rho$ 的增速，甚至使 $\dot{\rho }<0$$\dot\rho<0$ 导致 $\rho$$\rho$ 不增反降。根据游戏设定，$c_1$$c_1$ 的数值等于购买 $c_1$$c_1$ 升级的个数，可以通过逐个购买或卖出升级，来调整购买 $c_1$$c_1$ 升级的个数。$q_i$$q_i$ 升级优先选择指数增长的 $q_2$$q_2$, 而不是近似线性增长的 $q_1$$q_1$.

引理4：$\phi >0$$\varphi>0$

引理 4 的公式如下：

看起来引理 4 只需要无脑买买买，但是，由于 $q=t\ge 0$$q=t\geq0$, $\dot{\rho }=c_1{c}_2(c_{3}t-t^2/5)$$\dot\rho=c_1c_2(c_3t-t^2/5)$. $\dot{\rho }$$\dot \rho$ 对 $t$$t$ 求导，可得

公式 (21) 中，$c_3-\frac{2}{5}t$$c_3-\frac{2}{5}t$ 单调递减，且由正转负，初始值为正。因此，$\dot{\rho }$$\dot \rho$ 存在全局非负最大值，且由正转负，一旦 $\dot{\rho }<0$$\dot \rho<0$，$\rho$$\rho$ 的值将减小。根据以上分析，引理 4 不能长时间挂机，且对手速稍有要求。综上所述，引理 4 的最优策略是尽可能多地购买 $c_3$$c_3$, 使 $c_3$$c_3$ 的值尽可能地大。你甚至可以使用引理 2 中买卖升级的方法，使 $c_3$$c_3$ 的值尽可能地大。因此，在引理 4 中满仓操作反而是最优选择。

引理5：$\tau >0$$\tau>0$

引理 5 的公式如下：

$q_1$$q_1$ 随购买次数近似线性增长，$q_2=2^{n_2}$$q_2=2^{n_2}$, 其中 $n_2$$n_2$ 为购买 $q_2$$q_2$ 升级的个数，这部分和引理 2 中的 $c_i$$c_i$ 类似。因此同等价位的情况下， 优先买$q_2$$q_2$. 由于 $q=q_1{q}_{2}t\ge 0$$q=q_1q_2t\geq0$ 且各 $c_i$$c_i$ 是相互独立的，若要 $\dot{\rho }$$\dot\rho$ 的值尽量大，此时需要保证每一个 $c_i^4(2i^2-c_i)$$c_i^4(2i^2-c_i)$ 的值要尽可能的大且为正。 $c_i^4(2i^2-c_i)$$c_i^4(2i^2-c_i)$ 对 $c_i$$c_i$ 求偏导，则有：

由于

且 $8i^2-5c_i\le 8i^2$$8i^2-5c_i\leq8i^2$, 因此 $c_i^4(2i^2-c_i)$$c_i^4(2i^2-c_i)$ 存在非负最大值。当 $c_i^4(2i^2-c_i)$$c_i^4(2i^2-c_i)$ 为非负最大值时，其对 $c_i$$c_i$ 的偏导数为零，此时需要求方程 $c_i^3(8i^2-5c_i)=0$$c_i^3(8i^2-5c_i)=0$ 的解。该方程只有一个非零实数解，为$c_i=\frac{8}{5}{i}^2$$c_i=\frac{8}{5}i^2$. 此时令 $c_i^4(2i^2-c_i)$$c_i^4(2i^2-c_i)$ 为非负最大值时 $c_i$$c_i$ 的值为 $c_{iz}$$c_{iz}$, 同时定义$f(c_i)=c_i^4(2i^2-c_i)$$f(c_i)=c^4_i(2i^2-c_i)$, 此时列出如下表格：

其中 $\mathrm{floor}(x)$$\mathrm{floor}(x)$ 为向下取整函数，函数值为不大于 $x$$x$ 的最大整数，计算结果与作者在 Discord 上找到的如下最优 $c_i$$c_i$ 配置一致：

引理6：$e^{b{x}_i\phi \tau dt}>1$$e^{bx_i\varphi \tau dt}>1$

引理 6 的公式如下：

其中 $n_3$$n_3$ 和 $n_4$$n_4$ 是 $c_3$$c_3$ 和 $c_4$$c_4$ 的级别。若让 $\dot{\rho }$$\dot\rho$ 尽可能大，同时考虑到出现负值的情况，分子的绝对值尽量大，分母的绝对值尽可能小，两者同号。此时有两种方案：

1. $c_2=0$$c_2=0$, $c_1>0$$c_1>0$ 且 $c_1$$c_1$ 的绝对值尽可能大，$c_3-c_4$$c_3-c_4$ 的绝对值尽可能小且大于零。
2. $c_1=0$$c_1=0$, $c_2<0$$c_2<0$ 且 $c_2$$c_2$ 的绝对值尽可能大，$c_3-c_4$$c_3-c_4$ 的绝对值尽可能小且小于零。

当 $\rho =1e15$$\rho=1e15$ 时，$2\le n_3\le 134,0\le n_4\le 136$$2\le n_3\le134,\ 0\le n_4\le136$. 此处令 $n_3$$n_3$ 为定值，求出 $|c_3-c_4|$$|c_3-c_4|$ 最小时对应 $n_4$$n_4$ 的值。本人做了一个表格，以列举引理 6 中各个 $n_3$$n_3$ 对应 $n_4$$n_4$ 的值。

点击这里查看表格！

表中所列结果与作者在 Discord 上找到的最优路线一致：

我特意在正数前面加了 $+$$+$ 号以示区别，不要把符号搞反了！需要注意的是，下列时机需要将 $c_1$$c_1$ 和 $c_2$$c_2$ 的值归零，否则会造成 $\dot{\rho }<0$$\dot\rho<0$, 导致 $\rho$$\rho$ 的值大幅下降，甚至会造成 $\rho <0$$\rho<0$！ 归零 $c_1$$c_1$ 和 $c_2$$c_2$ 的时机如下：

• 从序号 1 切换到序号 2 时
• 从序号 2 切换到序号 3 时
• 从序号 3 切换到序号 4 时

综上所述，当需要对 $c_3-c_4$$c_3-c_4$ 的值进行变号时，将 $c_1$$c_1$ 和 $c_2$$c_2$ 的值归零。如果你进行到序号 6 ，你只需要专注于购买 $c_1$$c_1$ 和 $c_2$$c_2$ 的升级即可完成。

引理7：$\frac{e^{t}f(e^t)}{f(t)}>1$$\frac{e^tf(e^t)}{f(t)}>1$

引理 7 的公式如下：

若让 $\dot{\rho }$$\dot\rho$ 尽可能大，$c_1/c_2$$c_1/c_2$ 要尽可能地接近自然对数的底数 $e$$e$. 同时由于 $c_1$$c_1$ 和 $c_2$$c_2$ 都是正整数，某些人一定会有一个大胆的想法：$e$$e$ 的有理数近似。在这篇文章中，我们可以找到一组 $e$$e$ 的有理数近似：

实测表明，当 $\rho \le 1e15$$\rho\leq1e15$ 时，$c_1\le 130,c_2\le 60,$$c_1\leq130, c_2\leq60,$ 此时只需要保持 $c_1/c_2$$c_1/c_2$ 的值为以上任一有理数近似值即可。

本人做了一个表格，以列举引理 7 中可用的 $e$$e$ 的有理数近似。

点击这里查看表格！

根据以上表格，引理 7 中最佳的 $c_1/c_2$$c_1/c_2$ 路线如下：

完成理论 9 之后，所有的故事章节都已解锁，再也不会有新的游戏内容和游戏机制了。由于理论 9 不会影响 $f(t)$$f(t)$ 和 $\tau$$\tau$, 你可以将分配在理论 9 上的 40 个学生分配到其他的研究上。

参考资料：https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/0020739X.2017.1352043

自动转生和自动超越的公式

点击左下角的“眼镜+小胡子”图标，进入转生（Prestige）和超越（Supremacy）菜单，点击“转生”和“超越”按钮旁边的小齿轮可对自动转生和自动超越进行设置，我个人建议将自动转生和自动超越模式换成“数学表达式”，用公式定义自动转生和自动超越的条件，而不是达到上一次的多少倍后进行自动转生或自动超越。

自动转生

自动转生采用如下公式：

xxxxxxxxxx
timer(d(ln(db/b+1)/pt) < 0) > 3 * tr && db > b

公式给出的两个条件要同时满足：

• $db>b$$db>b$, 不言而喻，游戏画面的右上角和前面的章节已经说明了。
• $f(t)$$f(t)$ 或 $b$$b$ 的增速为最大值，这里是用 $b$$b$ 来表示 $f(t)$$f(t)$ 的平均增速。何时取最大值？增速的导数（也就是加速度）从上往下过零点时，增速取得最大值。采用 $db$$db$ 而不是 $f(t)$$f(t)$ 的原因还有一个，就是可以避免在即将转生时 $f(t)$$f(t)$ 的波动影响计算结果。

为什么要用这个公式？原因很简单，保证$f(t)$$f(t)$​ 或 $b$$b$​ 的增速始终为最大值。就好像你在反物质维度里面始终在每分钟获得的无限点数刚过峰值时进行坍缩。

当 $f(t)>ee14000$$f(t)>ee14000$​ 时，采用如下自动转生公式：

xxxxxxxxxx
((timer(d(ln(db/b+1)/pt) < 0) > 3 * tr && db > b && ((d(smooth(10^10^10^(phi*tau),1)) > 1) && timer(abs(d(log10(phi+1))) < 50) > 15))&&phi>1) || ((timer(d(ln(db/b+1)/pt) < 0) > 3 * tr) &&(phi >=1 && phi <= 1))

和第一个公式相比，多了如下条件：

1. 当 $\phi$$\varphi$ 和/或 $\tau$$\tau$ 的增长极慢的时候，可以进行转生，但是还需要条件 2 满足之时才能进行转生。
2. 当 $\phi$$\varphi$​​​ 的值在一个时间间隔（tick）内的变化量大于 10 万，延迟 15 秒进行转生。有了这个条件，在进行 3R9 SWAP 时不需要把自动转生关掉了。当然，这个延迟的时间可以按个人喜好修改。
3. 当 $\phi =1$$\varphi=1$​ 时，使用原始自动转生公式。因为没有相等的判断，所以只能通过大于等于和小于等于的条件进行与逻辑运算来达成相等的判断。

自动超越

自动超越采用如下公式：

xxxxxxxxxx
timer(d(ln(db/b+1)/pt) < 0) > 2 * tr && db > b && dpsi + psi > min(min(costUpS(1), costUpS(2)), costUpS(3)) && ln(1 + max(1,log10(sf))/smooth(max(1,log10(gf)), (st>tr) * ee99))/max(1,st) < smooth(ln(1 + max(1,log10(sf))/smooth(max(1,log10(gf)), (st>tr) * ee99))/max(1,st) , (pt>tr) * ee99)

这两个公式要同时使用，启用自动该超越公式或重新启用自动超越后，需要立刻进行一次手动强制超越！否则可能会出现无法自动超越的情况。

公式给出的四个条件要同时满足：

• 自动转生的两个条件。（对应增速的条件稍有调整）
• 完成后 $\psi$$\psi$ 的值要买得起至少一个 $\psi$$\psi$ 升级。
• 第四个条件将在下一节中进行说明。

在刚解锁理论的时候，用这个公式会出现长时间不超越的情况，原因是第四个条件未满足。当然你也可以选择手动强制超越

$f(t)>ee9160.302$$f(t)>ee9160.302$​ 时，即首次购买第三个 $\psi$$\psi$ 升级后采用以下自动超越公式：

xxxxxxxxxx
timer(d(ln(db/b+1)/pt)<0)>2*tr && db>b && dpsi+psi>min(min(costUpS(1),costUpS(2)), costUpS(3)) && ln(1 + max(1,log10(sf))/smooth(max(1,log10(gf)),(st>tr)*ee99))/max(1,st)<smooth(ln(1+max(1,log10(sf))/smooth(max(1,log10(gf)),(st>tr) *ee99))/max(1,st),(pt>tr) * ee99)||(dpsi+psi>costUpS(3,2))||(dpsi+psi>costUpS(3,ceiling((log10(2^(log10(log10(lf))/25))-log10(costUpS(3,1)/e20))/70))&&dpsi+psi>costUpS(3,1))|| (dpsi+psi > 4.2e51 && costUpS(1)<4.2e51)|| (dpsi + psi > costUpS(3))

启用该自动超越公式或重新启用自动超越后，需要立刻进行一次手动强制超越！否则可能会出现无法自动超越的情况。

$f(t)>ee48000$$f(t)>ee48000$​ 时，采用以下自动超越公式：

xxxxxxxxxx
(costUpS(1)<e52&&psi+dpsi>e52)||(costUpS(3)<e411&&psi+dpsi>e411)||(costUpS(3)<e511&&psi+dpsi>e511)||(costUpS(3)<e531&&psi+dpsi>e531)||(costUpS(3)<e551&&psi+dpsi>e551)||(costUpS(3)<e571&&psi+dpsi>e571)

这个公式不言而喻，在 $f(t)>ee52$$f(t)>ee52$ 或刚好买得起第三个 $\psi$$\psi$ 升级之时进行超越。启用该自动超越公式或重新启用自动超越后，需要立刻进行一次手动强制超越！否则可能会出现无法自动超越的情况。

第一个自动超越公式中第四个条件的说明

首先是对该条件中各个变量的说明：

• sf: Supremacy $f(t)$$f(t)$, 上次超越后 $f(t)$$f(t)$ 的最大值。
• gf: Graduation $f(t)$$f(t)$, 上次毕业后 $f(t)$$f(t)$ 的最大值。
• st: 上次超越后经过的秒数。
• pt: 上次转生后经过的秒数。
• tr: Tick Rate, 每个时刻的秒数。

接下来就是 smooth 函数的说明了。游戏中该函数的说明如下：

平滑函数：“smooth”函数可以降低某个信号的噪声，让函数的变化更平滑。这个函数有两个参数，第一个参数是被平滑的函数，第二个参数是平滑系数。系数越大，结果将越平滑。例如，“smooth(x,0)”就等于“x”，也就是未被平滑，而“smooth(x,1)”是最近一小段时间“x”的移动平均值。

smooth 函数的公式如下：

smooth 函数常见的使用方法如下（翻译自 Discord）：

1. 如果第二个参数的值较小，如 smooth(x,10), 这个函数将会输出最近 10 个时刻 x 的移动平均值。
2. 如果第二个参数的值非常大，如 smooth(y,ee99), 这个函数将会输出一个恒定的 y 值，即使输出这个 y 值之后，实际上 y 的值发生了变化。举一个实际的例子：smooth(b,(pt<1)*ee99), 这个函数将会输出上次完成转生完成后，再过 1 秒之后 $b$$b$ 的值，这个输出结果将保持到下次转生。
3. 如果第一个参数的值非常大，如 smooth(10^10^10^db,1), 这个函数输出的是 10^10^10^db 的历史最大值（Cumulative Maximum），但是我们需要获得的是 db 的历史最大值而不是 10^10^10^db 的，所以应该使用 log10(log10(log10(smooth(10^10^10^db, 1)))) 这样的函数才能获得 db 的历史最大值。

将不等式的两边改写成分数形式，变量的字母全部改为大写，左边为

右边为

也就是说，每次完成转生之后计算不等式左边的值并锁定，随后不断计算不等式左边的值，直到不等式左边的值小于上次转生后的值。作者猜测，这个公式的目标就是在 $\psi$$\psi$ 的增速最大时进行超越。根据 smooth 函数的第二个使用方法，为了实现对应数值的锁定，需要在启用自动该超越公式或重新启用自动超越后，需要立刻进行一次手动强制超越。

参考资料：https://discord.com/channels/708020773159305248/708021223258587227/844205518486372412

毕业计算器的使用方法

感谢大量玩家贡献的数据和 Discord 上的大佬，第一个能用的毕业计算器得以问世。本文为此特地设立一个章节，来介绍这个计算器的使用方法。

使用说明

1. 点击这里进入计算器！ 或者是使用该链接：https://replit.com/@LEBaldy2002/gradcalc
2. 点击​ ▶️ 按钮或 Not run yet 开始运行，网页会为程序构建运行环境。
3. 构建完成后提示 Tau (only number after e): 后输入 $\tau$$\tau$ 的值，只需要输入 e 后面的数字。例如 $\tau =2.5e1500$$\tau=2.5e1500$​ 时输入 1500.
4. 输入完成后提示 Phi (only number after e): 后输入 $\phi$$\varphi$ 的值，只需要输入 e 后面的数字。例如 $\phi =2.5e1500$$\varphi=2.5e1500$ 时输入 1500. 需要注意的是，这里输入的 $\phi$$\varphi$ 值，是指把所有的学生只分配到研究1~8上时，能达到的 $\phi$$\varphi$ 值，此时研究 9 上没有学生分配，也就是完成 3R9 SWAP 后所能达到的 $\phi$$\varphi$ 值。这里的 $\phi$$\varphi$ 值可以使用学生计算器进行计算。研究 8 为解锁理论，研究9为理论提升。
5. 输入当前的学生总数，也就是 ${\sigma }_t$$\sigma_t$​​ 的值。
6. 稍等一会，计算完成，Current Graduation Mark: 的数值为此次毕业需要达到的 $f(t)$$f(t)$​ 值。

结果说明

Current Graduation Mark: 此次毕业需要达到的 $f(t)$$f(t)$​ 值。

Theory Income Boosted by xxxxx since last Graduation. 毕业后理论的加成倍数变化。

Theory Income Before Graduation: 毕业前理论加成的倍数，也就是 $({\sigma }_t/20{)}^3$$(\sigma_t/20)^3$​.​

Theory Income After Graduation: 毕业后理论加成的倍数，也就是 $[({\sigma }_t+d\sigma )/20{]}^3$$[(\sigma_t+d\sigma)/20]^3$​.​​

报错说明

Please input an integer for xxx. 你只能输入整数，不支持小数。

Phi*Tau too low for student count. 学生数对于的 $\phi$$\varphi$ 和 $\tau$$\tau$​​ 值过低，这种情况大概率是未完成 3R9 SWAP, 也就是说还有 30 个学生分配到理论 9 上导致的。

Upon reaching ee5k please respec all into Theory 1. If you have no theories please input less than 20 for students. 如果你的 $f(t)>ee5000$$f(t)>ee5000$ 时，该进行理论了。如果理论未解锁，可能是你输入的学生数太大了。

Phi too low for next graduation. $\phi$$\varphi$​ 值过低，无法进行毕业，该使用学生计算器了。

Are You Even Using Students? 居然有人不把学生分配在研究上的吗？

Please Input Valid Values for Phi, Tau, and Total Students. 输入的值无效。

Values too high and outside range of equations. If you have data to add please fill out https://forms.gle/myog2rNgdmQJqPsP6 Current Max Supported Phi*Tau: exxx Current Max Supported Students: yyy 你输入的数值太大了，计算器都给你跪了。如果你输入的数值真是你肝出来的，你可以在这个页面中提交你的数据，以扩大计算器的适用范围。

源代码

该计算器使用 Python 编写，本文为某些头铁的 Pythonist 在附录四中给出该计算器的源码。

补充内容

R9 SWAP

如题，这种操作如下所述：将分配到研究 9（R9）上的学生，与已经分配到研究 1~7 上的学生一起，重新分配到研究 1~7 上，以在短时间内为 $f(t)$$f(t)$ 提供极大幅度的加成。这种操作是将学生对理论的加成，在短时间内全部转换成学生对 $\phi$$\varphi$ 的加成，不过在整个游戏过程来看，因为 $\tau$$\tau$ 的值等于各个理论的 ${\tau }_i$$\tau_i$ 值的乘积，各个理论通过增加 $\tau$$\tau$ 的值，持续快速地推进游戏进度，且 ${\tau }_i$$\tau_i$ 的值（即各个理论的进度）不受主游戏的影响，所以这种操作只能使用（相对整体游戏进度而言的）极小一段时间。

具体的操作步骤如下：

1. $f(t)$$f(t)$ 增长太慢了，以至于主函数的图表中出现锯齿，怎么办？是时候将 R9 上的学生移除掉了。
2. 记录下此时分配在前 7 个研究上的学生数量。为描述方便，以数组 A 的形式表示。 A=[a1, b1, c1, d1, e1, f1, g1].
3. 点击重置加成（Respec）按钮左边的小按钮，会发现每一个研究前面都有一个➖按钮，按一下则会按照“价格（Cost）”左侧的数量移除研究的等级。
4. 移除 R9 上的 30 个学生，跑一遍学生分配计算器，计算出不进行理论加成时分配在前 7 个研究上的学生数量。为描述方便，以数组 B 的形式表示。 B=[a2, b2, c2, d2, e2, f2, g2].
5. 将数组 B 应用到学生分配。
6. 继续游戏，这时可使用加速按钮，直到进行一次自动转生。
7. 完成自动转生后，尽快将数组 A 应用到学生分配！
8. 主函数的图表中出现锯齿后，重复第 2 步。这时可使用加速按钮。

经过这一波操作，你会发现你的 $f(t)$$f(t)$ 上天了。稍有常识的可以看出，这是一个活跃策略，不是一个挂机策略。

你学废了吗？如果你学废了，那你就废了。最好的玩法还是：不玩游戏的时候挂理论，玩游戏的时候搞一波 R9 SWAP.

语言更改

点击右下角齿轮图标进入设置菜单，在设置菜单中点击设置菜单左上角写着“文A”的图标，就在“主题”这两个字的左上方，点此可更改游戏界面语言。这对于获得隐藏成就有帮助。

附录一：相关链接

理论之后的攻略链接（微云，攻略内容为英文，如链接失效，请联系作者）：https://share.weiyun.com/1vrOfm4s

游戏攻略链接（英文）：https://exponential-idle-guides.netlify.app/

理论 1~4 的攻略链接（英文）：https://exponential-idle-guides.netlify.app/guides/theories-1-4/

理论 5~8 的攻略链接（英文）：https://exponential-idle-guides.netlify.app/guides/theories-5-8/

理论 9 及以后的攻略链接（英文）：https://exponential-idle-guides.netlify.app/guides/endgame/

星星分配计算器：https://gsui5051.github.io/StarOptimizer/index2.html

星星分配计算器（备用）：https://gsui5051.gitee.io/staroptimizer

学生分配计算器：https://gsui5051.github.io/ei-student-optimizer/index2.html

学生分配计算器（备用）：https://gsui5051.gitee.io/ei-student-optimizer/index2.html

毕业计算器（英文）：https://replit.com/@LEBaldy2002/gradcalc

备用毕业计算器（英文）：https://replit.com/@LEBaldy2002/gradcalcerrorfiguringout

官方 wiki（英文）：https://exponential-idle.fandom.com/wiki/Exponential_Idle

官方 wiki 上的不完全攻略（英文）：https://exponential-idle.fandom.com/wiki/Guide

官方 wiki 上的小游戏攻略（英文）：https://exponential-idle.fandom.com/wiki/Minigames

官方 wiki 上的成就指南（英文）：https://exponential-idle.fandom.com/wiki/Achievements

官方 wiki 上的隐藏成就指南（英文）：https://exponential-idle.fandom.com/wiki/Secret_Achievements

理论参考值速查表（打不开？这就对了）：https://docs.google.com/spreadsheets/d/1QdFJl-lZ6n2QgrD7OoUjUkxIzJz19rM0Rqjbvk_zdow/

附录二：$\psi$$\psi$ 升级速查表

第一个 $\psi$$\psi$ 升级速查表

第二个 $\psi$$\psi$ 升级速查表

第三个 $\psi$$\psi$ 升级速查表

第三个 $\psi$$\psi$ 升级最多只能购买 24 次，由于有玩家玩出了 $f(t)>ee50000$$f(t)>ee50000$ 的进度，下表中基于 “所有变量都能获得第三个 $\psi$$\psi$ 升级提供的加成” 这一假设，列出了购买次数大于 24 时的相关数据。当 ${\sigma }_t+d\sigma >231$$\sigma_t+d\sigma>231$ 时，无法购买 $\psi$$\psi$ 升级，此时列出的各项数值仅供参考。

附录三：理论参考值速查表

首先在表格中的 $\tau$$\tau$​ 这一列找到最接近你目前 $\tau$$\tau$​ （严格来说是 ${\log }_{10}\tau$$\mathrm{log}_{10}\tau$​ ）的这一行，然后在前 8 列中读取各个理论需要达到的 ${\tau }_i$$\tau_i$​ 值。例如：你目前 $\tau =3.8e3222$$\tau=3.8e3222$​, 此时你需要在 $\tau$$\tau$​ 这一列中找到 3240 这一列，此例中需要达到的 ${\tau }_i$$\tau_i$​ 的值如下：